高校数学では外積を扱わなくなってしまったので,普通に面積を計算したが,外積を使うと一瞬で証明される.
ベクトル \vec{u}=(u_1,\ u_2,\ u_3),\vec{v}=(v_1,\ v_2,\ v_3)の外積
\vec{u}\times\vec{v}=\left(\left| \begin{array}{cc} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \\ \end{array} \right|,\ \left| \begin{array}{cc} u_3 & u_1 \\ v_3 & v_1 \\ \end{array} \right|,\ \left| \begin{array}{cc} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \\ \end{array} \right|\right)
=(u_2 v_3-u_3 v_2,\ u_3 v_1-u_1 v_3,\ u_1 v_2-u_2 v_1)
は一つのベクトルで,向きは元の2つのベクトル \vec{u} と \vec{v} に垂直であり,大きさ
\sqrt{(u_2 v_1 - u_1 v_2)^2 + (u_3 v_1 - u_1 v_3)^2 + (u_3 v_2 - u_2 v_3)^2}
は \vec{u} と \vec{v} を隣り合う辺とする平行四辺形の面積になる.
この「面積」を使えば,一瞬に証明されるわけだ.
「三角形ABCの面積S_0,三角形OABの面積S_1,三角形OBCの面積S_2,三角形OCAの面積S_3としたとき,
S_1^2+S_2^2+S_3^2=S_0^2
を満たす」
(証明)
図において,Oを原点とし,\vec{\mathrm{OA}}=(a,\ 0,\ 0),\vec{\mathrm{OB}}=(0,\ b,\ 0),\vec{\mathrm{OC}}=(0,\ 0,\ c)とする.

OA,OBを2辺とする長方形の面積は T_1=ab
OB,OCを2辺とする長方形の面積は T_2=bc
OC,OAを2辺とする長方形の面積は T_3=ca
\vec{\mathrm{AB}}=\vec{\mathrm{OB}}-\vec{\mathrm{OA}}=(-a,\ b,\ 0)
\vec{\mathrm{AC}}=\vec{\mathrm{OC}}-\vec{\mathrm{OA}}=(-a,\ 0,\ c)
AB,ACを2辺とする平行四辺形の面積T_0は
\left| \vec{\mathrm{AB}}\times\vec{\mathrm{AC}}\right|=\left|(-a,\ b,\ 0)\times(-a,\ 0,\ c)\right| \\ =\left| \left( \left| \begin{array}{cc} b & 0 \\ 0 & c \\ \end{array} \right|,\ \left| \begin{array}{cc} 0 & -a \\ c & -a \\ \end{array} \right|,\ \left| \begin{array}{cc} -a & b \\ -a & 0 \\ \end{array} \right| \right)\right| = \left| (bc-0,\ 0-(-a)c,\ 0-b(-a))\right| \\ =\left|(bc,\ ca,\ ab)\right|=\sqrt{b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2}
と結果を見ると,ほとんど証明されいている.
T_1^2+T_2^2+T_3^2=(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2=T_0^2
OA,OBを2辺とする三角形の面積は S_1=\frac{T_1}{2}
OB,OCを2辺とする三角形の面積は S_2=\frac{T_2}{2}
OC,OAを2辺とする三角形の面積は S_3=\frac{T_3}{2}
AB,ACを2辺とする三角形の面積は S_0=\frac{T_0}{2}
より,
S_1^2+S_2^2+S_3^2=\frac{T_1^2}{4}+\frac{T_2^2}{4}+\frac{T_3^2}{4}=\frac{T_0^2}{4}=S_0^2
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