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2007年8月11日土曜日

log((a+sqrt(x^2+a^2))/x) の積分

\int\log\frac{a+\sqrt{x^2+a^2}}{x}dx

は部分積分の公式(積の微分公式 (uv)'=u'v+uv' の両辺を積分して移項したもの)
\int u'v=uv-\int uv'
を使う.この公式において,

u'=1
v=\log\frac{a+\sqrt{x^2+a^2}}{x}
と考えると,
u=x
v'=\frac{1}{\frac{a+\sqrt{x^2+a^2}}{x}}\left(\frac{a+\sqrt{x^2+a^2}}{x}\right)' \\ \hspace{5mm} =\frac{x}{a+\sqrt{x^2+a^2}}\left(\frac{(a+\sqrt{x^2+a^2})'x-(a+\sqrt{x^2+a^2})(x)'}{x^2}\right) \\ \hspace{5mm} =\frac{x}{a+\sqrt{x^2+a^2}}\left(\frac{(\sqrt{x^2+a^2})'x-(a+\sqrt{x^2+a^2})1}{x^2}\right)

ここで,
(\sqrt{x^2+a^2})'=\frac{1}{2\sqrt{x^2+a^2}}(x^2+a^2)' \\ \hspace{5mm} =\frac{1}{2\sqrt{x^2+a^2}}(2x) \\ \hspace{5mm} =\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}
より
v'=\frac{x}{a+\sqrt{x^2+a^2}}\left(\frac{\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}x-(a+\sqrt{x^2+a^2})}{x^2}\right) \\ \hspace{5mm} =\frac{x}{a+\sqrt{x^2+a^2}}\left(\frac{\frac{x^2}{\sqrt{x^2+a^2}}-(a+\sqrt{x^2+a^2})}{x^2}\right) \\ \hspace{5mm} =\frac{x}{a+\sqrt{x^2+a^2}}\cdot\frac{x^2-(a+\sqrt{x^2+a^2})\sqrt{x^2+a^2}}{x^2\sqrt{x^2+a^2}} \\ \hspace{5mm} =\frac{x}{a+\sqrt{x^2+a^2}}\cdot\frac{x^2-a\sqrt{x^2+a^2}-(x^2+a^2)}{x^2\sqrt{x^2+a^2}} \\ \hspace{5mm} =\frac{x}{a+\sqrt{x^2+a^2}}\cdot\frac{-a\sqrt{x^2+a^2}-a^2}{x^2\sqrt{x^2+a^2}} \\ \hspace{5mm} =\frac{x}{a+\sqrt{x^2+a^2}}\cdot\frac{-a(\sqrt{x^2+a^2}+a)}{x^2\sqrt{x^2+a^2}} \\ \hspace{5mm} =\frac{-a}{x\sqrt{x^2+a^2}}

したがって,
\int\log\frac{a+\sqrt{x^2+a^2}}{x}dx \\ \hspace{5mm} =x\log\frac{a+\sqrt{x^2+a^2}}{x}- \int x\cdot\frac{-a}{x\sqrt{x^2+a^2}} dx \\ \hspace{5mm} =x\log\frac{a+\sqrt{x^2+a^2}}{x}+a \int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} dx

後ろの部分は,
x+\sqrt{x^2+a^2}=t
とおくと,
\left(\frac{x}{1+\sqrt{x^2+a^2}}\right)dx=dt \\ \frac{x+\sqrt{x^2+a^2}}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=dt \\ \frac{t}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=dt \\ \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\frac{1}{t}dt
より,
\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} dx \\ \hspace{5mm} =\int\frac{1}{t}dt \\ \hspace{5mm} =\log t \\ \hspace{5mm} =\log(x+\sqrt{x^2+a^2})

ゆえに,
\int\log\frac{a+\sqrt{x^2+a^2}}{x}dx \\ \hspace{5mm} =x\log\frac{a+\sqrt{x^2+a^2}}{x}+a \log(x+\sqrt{x^2+a^2})

>>積分の記事

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