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2007年3月14日水曜日

本日の計算(2次方程式)

2次方程式
ax^2+bx+c=0

数I 教科書の手順は
ax^2+bx+c=0
ax^2+bx=-c
x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}  (口をすっぱくしたいところ)
x^2+2\frac{b}{2a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2
\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}
\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{4ac}{4a^2}+\frac{b^2}{4a^2}
\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}
b^2-4ac\ge 0のとき
x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}
x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{\sqrt{4a^2}}
x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}・・・あれ?
x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}


教科書では無視して通過している「あれ?」のところ.
「あれ?」と言わせないためには,
a>0の場合,a<0の場合に分けねばならぬ.つまり \sqrt{P^2}=|P| としなければならないところを,素通りするのは気持ち悪いが,勢いに任せて無視するw その面倒がないのが,テクニカルな変形. ax^2+bx+c=0 ax^2+bx=-c 4a^2x^2+4abx=-4ac (2ax)^2+2(2ax)b+b^2=b^2-4ac (2ax+b)^2=b^2-4ac b^2-4ac\ge 0ならば, 2ax+b=\pm\sqrt{b^2-4ac} 2ax=-b\pm\sqrt{b^2-4ac} x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} として,避けて通れるが・・・ 次の変形はやりすぎ? ax^2+bx+c =\frac{1}{4a}(4a^2x^2+4abx+4ac) =\frac{1}{4a}((2ax)^2+2(2ax)b+b^2-(b^2-4ac)) =\frac{1}{4a}((2ax+b)^2-(\sqrt{b^2-4ac})^2) =\frac{a}{(2a)^2}((2ax+b-\sqrt{b^2-4ac})(2ax+b+\sqrt{b^2-4ac})) =\frac{a}{2a}(2ax+b-\sqrt{b^2-4ac})\frac{1}{2a}(2ax+b+\sqrt{b^2-4ac}) =a(x+\frac{b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a})(x+\frac{b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}) =a(x-\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a})(x+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}) より, x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} ついでに,xの方程式 ax^2+bx+c=0 の解は a≠0 のとき2次方程式で, x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} a=0, b≠0 のとき1次方程式で, x=\frac{-c}{b} a=0, b=0, c≠0 のとき「不能」 a=0, b=0, c=0 のとき「不定」 さて,「口をすっぱくしたいところ」が,「0で割る計算は定義できない.

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