tangent

今日の計算。ネットで見かけた。

xを求める。

$\alpha=90^\circ-20^\circ=70^\circ$

$\beta=35^\circ+20^\circ=55^\circ$

$\tan\alpha=\frac{h}{1}$,  $h=\tan70^\circ$

$\tan\beta=\frac{h}{1+k}$,  $1+k=\frac{h}{\tan\beta}=\frac{\tan70^\circ}{\tan55^\circ} $

$\tan35^\circ=\frac{h}{(1+k)+x} $, $(1+k)+x=\frac{h}{\tan35^\circ}$,

$x=\frac{h}{\tan35^\circ}-(1+k)$

　$=\frac{\tan70^\circ}{\tan35^\circ}-\frac{\tan70^\circ}{\tan55^\circ}$

　$=\tan70^\circ(\frac{1}{\tan35^\circ}-\frac{1}{\tan55^\circ})$

$\tan(90^\circ-\theta)=\frac{1}{\tan\theta}$ より、 $\tan35^\circ=\tan(90^\circ-55^\circ)=\frac{1}{\tan55^\circ}$　

$x=\tan70^\circ(\frac{1}{\tan35^\circ}-\tan35^\circ)$

　$=\tan70^\circ(\frac{1-\tan^2 35^\circ}{\tan35^\circ})$

倍角公式 $\tan2\theta=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$ より $\tan70^\circ=\tan2\times35^\circ=\frac{2\tan35^\circ}{1-\tan^2 35^\circ}$ 

$x=\frac{2\tan35^\circ}{1-\tan^2 35^\circ}(\frac{1-\tan^2 35^\circ}{\tan35^\circ})=2$

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
一般に

長さ $L$、角$\theta$、角$\alpha=90^\circ-2\theta$ が与えられれば、$x=2L$ となる。

θ=30度のとき、α=90－60＝30より、2α=60 の直角三角形になり、隙間の角がつぶれる。

θ=29度のとき、α=90－58＝32より、2α=64 で、内角の和は 64+29+90=183度で矛盾。

実際、隙間の角度は $90^\circ-\theta-2\alpha>0$で、$\alpha=90^\circ-2\theta$ より、

　$90^\circ-\theta-2(90^\circ-2\theta)>0$

　$90^\circ-\theta-180^\circ+4\theta>0$

　$-90^\circ+3\theta>0$

　$3\theta>90^\circ$

　$\theta>30^\circ$

なので、θは30度より大きく45度未満となる。

θが45度でαがつぶれる。

$\tan\beta=\frac{h}{L}$, $h=L\tan\beta$

　$\beta=90^\circ-\alpha=2\theta$より $h=L\tan2\theta$ ...(a)

$\tan\gamma=\frac{h}{L+k}$, $L+k=\frac{h}{\tan\gamma}$

　$\gamma=\alpha+\theta=90^\circ-\theta$より $L+k=\frac{h}{\tan(90^\circ-\theta)}=h\tan\theta$ 

(a)の$h$ を代入して、

　$L+k=L\tan2\theta\tan\theta$ ...(b)

$\tan\theta=\frac{h}{L+k+x}$, $L+k+x=\frac{h}{\tan\theta}$, $x=\frac{h}{\tan\theta}-(L+k)$

(a)の$h$, (b)の$L+k$を代入して、

　$x=\frac{L\tan2\theta}{\tan\theta}-L\tan2\theta\tan\theta$

　$=L\tan2\theta(\frac{1}{\tan\theta}-\tan\theta)$

　$=L\tan2\theta(\frac{1-\tan^2\theta}{\tan\theta})$

　$=L\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}(\frac{1-\tan^2\theta}{\tan\theta})=2$

L=1のとき、いろいろな大きさになるが、xは常に 2

θ=31° 高さは1.88

θ=44° 高さは28.6