平方数の和になる素数

最近の授業で円の方程式\[x^2+y^2=r^2\]を扱っていて、円と直線の共有点のプリント。

プリントの問題

(問1) \(x^2+y^2=3\) と\(y=-x\) との共有点

プリント作成者が、数字を間違えたということで、3 を 8 に直した。8に直すと、答えが整数になるからだ。

3のままだと、

(解)直線を円に代入し  \(x^2+(-x)^2=3\) を解いて、\(x=\pm\frac{\sqrt{6}}{2}\)

直線に代入して、\(y=\mp\frac{\sqrt{6}}{2}\), 共有点\(\left(\frac{\sqrt{6}}{2}, -\frac{\sqrt{6}}{2}\right)\), \(\left(-\frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2}\right)\)

8に直すと、\((2, -2)\),  \((-2, 2)\)

自分は、直さなくてもいいと思ったけど、直すなら直すか。

ほかにも、共有点が格子点(座標が整数)になるように訂正したものがあった。

「これでみんな答えが整数になるぞー」

そもそも、(問1) \(x^2+y^2=3\) の半径 \(\sqrt{3}\) は格子点をひとつも通らない。

 \(r^2\) が 5, 10, 13 にすると、通る格子点が8つになって、答えが整数となる共有点の問題のバリエーションが増える。

ここでふと、あることを思い出した。

「 \(r^2\) がこうなると、共有点が整数にできるな」と板書。

　　\(5=1^2+2^2\)

　　\(13=2^2+3^2\)

　　\(17=1^2+4^2\)

　　\(29=2^2+5^2\)

　　\(37=1^2+6^2\)

　　\(41=4^2+5^2\)

「この数はどんな数か？」

「素数」

「まぁそうだけど、素数の一部。このように平方数の和になる素数は、どんな素数だと思う？」

「・・・」

「４の倍数、かけ算の4の段をならべてごらん。」

　4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 

「おぉ」

「わかったかな？」

こうやって、性質を生徒が見つけられる授業って、楽しいなぁ。

\(4n+1\) が素数ならば、それは平方数の和になる

ってのはフェルマーが証明したんだっけ？

逆の、平方数の和になる素数は、\(4n+1\) 　も言えたかな。

半径の２乗 \(r^2\) が、次の数であれば、格子点を通る。

　　\(1=0^2+1^2\)

　　\(2=1^2+1^2\)

　　\(4=0^2+2^2\)

　　\(5=1^2+2^2\)

　　\(8=2^2+2^2\)

　　\(9=0^2+3^2\)

　　\(10=1^2+3^2\)

　　\(13=2^2+3^2\)

　　\(16=0^2+4^2\)

　　\(17=1^2+4^2\)

　　\(18=3^2+3^2\)

\(r^2\) が 1, 4, 9, 16 の平方数なら、\(x\)軸、\(y\)軸上で必ず、格子点となるから少なくとも４つは格子点を持つけど、逆に４つしかないと、共有点の問題としては限られる。

半径の２乗 \(r^2\) が \(2=1^2+1^2\) や\(18=3^2+3^2\) のように2つの同じ平方数の和となる数も格子点を４つしか通らないから、半径が平方数であるのと変わらない。

5など、2つの0と異なる平方数の和で表される数\[5=1^2+2^2\]で、その平方根を半径に持つ円を使うと、格子点が８個に増え、いろんなバリエーションの共有点の問題になる。

　　\(5=1^2+2^2\)

　　\(10=1^2+3^2\)

　　\(13=2^2+3^2\)

　　\(17=1^2+4^2\)

　　\(20=2^2+4^2\)

　　\(25=3^2+4^2\)

　　\(26=1^2+5^2\)

　　\(29=2^2+5^2\)

　　\(34=3^2+5^2\)

　　\(37=1^2+6^2\)

　　\(40=2^2+6^2\)

　　\(41=4^2+5^2\)

　　\(45=3^2+6^2\)

　　\(50=1^2+7^2=5^2+5^2\)

ここから、素数を5, 13, 17, 29, 37, 41 を抜き出すと \(4n+1\) なわけだ。

異なる平方数の和が平方数である25と、2通りに表せる50は格子点が12個になる。

２通りの平方数で表せる最小の数が50。

ついでに、1729は２通りの立方数で表せる最小の数で、「タクシー数」と呼ばれる。

　　\(1729=1+1728=1^3+12^3\)

　　\(1729=729+1000=9^3+10^3\)

「タクシー数」はハーディがラマヌジャンのお見舞いに行ったエピソードに由来する。＞検索

私は彼をパットニーの療養所に見舞ったことを覚えている。私はナンバーが1729のタクシーに乗り、その数は無味乾燥なもののように思え、それが不吉なことの前兆でないことを願っていた。しかし彼は「そんなことはありません、とても興味深い数字です。それは2通りの2つの立方数の和で表せる最小の数です」と返した。

2022年6月25日 追記

「素数が、\(4n+1\)であることと、平方数の和であることは同値 」

は「フェルマーのクリスマス定理」と呼ばれるそうだ。

由来は、フェルマーがメルセンヌにこれが「証明できた」と手紙を送ったのが、1640年12月25日だったから。