本日の無酸素計算。息を止めて一気に読んでくださいｗ
因数定理を使っての3次方程式 $x^3-4x^2+8=0$ を解く授業。
$2^3-4\cdot2^3+9=8-16+8=0$ より，$x-2$ を因数に持ち，
$(x-2)(x^2-2x-4)=0$
より，$x=2,$ $1\pm\sqrt{5}$ を得る。
カルダノを話をしたついでにカルダノの解法を見せた。
$x=y+\frac{4}{3}$ と変換すると，
$(y+\frac{4}{3})^3-4(y+\frac{4}{3})^2+8=0$
整理すると，
$y^3-\frac{16}{3}y+\frac{88}{27}=0$
$y=u+v$ と変換すると，
$(u+v)^3-\frac{16}{3}(u+v)-\frac{88}{27}=0$
$u^3+3uv(u+v)+v^3-\frac{16}{3}(u+v)+\frac{88}{27}=0$
$u^3+v^3+\frac{88}{27}+(u+v)(3uv-\frac{16}{3})=0$
$u^3+v^3+\frac{88}{27}=0$ かつ $3uv-\frac{16}{3}=0$
$3uv-\frac{16}{3}=0$ より，$v=\frac{16}{9u}$
これを $u^3+v^3+\frac{88}{27}=0$ に代入して，
$u^3+(\frac{16}{9u})^3+\frac{88}{27}=0$
$u^3+\frac{4096}{729u^3}+\frac{88}{27}=0$
$u^3$をかけて
$(u^3)^2+\frac{4096}{729}+\frac{88}{27}u^3=0$
$(u^3)^2+\frac{88}{27}u^3+\frac{4096}{729}=0$
$u^3$ の２次方程式を解いて，
$u^3=-\frac{44}{27}\pm\sqrt{(\frac{44}{27})^2-\frac{4096}{729}}=\frac{-44\pm12\sqrt{15}i}{27}$
$|u^3|^2=\frac{44^2+(12\sqrt{15})^2}{27}=\frac{1936+2160}{27}=\frac{4096}{27}=(\frac{16}{3})^3$ より
$|u|^2=\frac{16}{3}$ である。
$u=\frac{1-\sqrt{15}i}{3}$ ならば，$|u|^2=\frac{16}{3}$ であり，
$u^3=\frac{(1-\sqrt{15}i)^3}{3^3}=\frac{1-3\sqrt{15}i-3\cdot15+15\sqrt{15}i}{27}=\frac{-44+12\sqrt{15}i}{27}$ を満たす。
よって，
$u^3=\frac{-44+12\sqrt{15}i}{27}$
の解は
$u=u_1=\frac{1-\sqrt{15}i}{3}$, $u_1\omega$, $u_1\omega^2$
の3つである。還元可能であった。
ただし$\omega$ は１の虚数３乗根($x^2+x+1$の根)
$\omega=e^{\frac{2\pi}{3}i}=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$, $\omega^2=\frac{1}{\omega}=e^{-\frac{2\pi}{3}i}=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$ である。
$v=\frac{16}{9u}$より，$u=u_1$ のとき，
$v=\frac{16}{9u_1}=\frac{16\cdot3}{9(1-\sqrt{15}i)}=\frac{1+\sqrt{15}i}{3}=v_1$
$u=u_1\omega$ のとき，
$v=\frac{16}{9u_1\omega}=\frac{v_1}{\omega}=\frac{v_1\omega^2}{\omega^3}=v_1\omega^2$
$u=u_1\omega^2$ のとき，
$v=\frac{16}{9u_1\omega^2}=\frac{v_1}{\omega^2}=\frac{v_1\omega}{\omega^3}=v_1\omega$
$y=u+v$ より
$y_1=u_1+v_1=\frac{1-\sqrt{15}i}{3}+\frac{1+\sqrt{15}i}{3}=\frac{2}{3}$
$y_2=u_1\omega+v_1\omega^2=\frac{1-\sqrt{15}i}{3}\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}+\frac{1+\sqrt{15}i}{3}\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}=\frac{1}{6}(-1+\sqrt{3}i+\sqrt{15}i+3\sqrt{5}-1-\sqrt{3}i-\sqrt{15}i+3\sqrt{5})=\frac{-1+3\sqrt{5}}{3}$
$y_3=u_1\omega^2+v_1\omega=\frac{1-\sqrt{15}i}{3}\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}+\frac{1+\sqrt{15}i}{3}\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}=\frac{1}{6}(-1-\sqrt{3}i+\sqrt{15}i-3\sqrt{5}-1+\sqrt{3}i-\sqrt{15}i-3\sqrt{5})=\frac{-1-3\sqrt{5}}{3}$
$x=y+\frac{4}{3}$ より，
$x_1=y_1+\frac{4}{3}=\frac{2}{3}+\frac{4}{3}=2$,
$x_2=y_2+\frac{4}{3}=\frac{-1+3\sqrt{5}}{3}+\frac{4}{3}=1+\sqrt{5}$,
$x_3=y_3+\frac{4}{3}=\frac{-1-3\sqrt{5}}{3}+\frac{4}{3}=1-\sqrt{5}$
