台形の面積を計算する

「チコちゃんに叱られる」で「日本の国土の面積はどうやって計算する？」の答えが

「1500万個の台形の面積を計算する」

で，台形を計算する式が

「座標法」と呼ばれる。

点が4つなら，

$i=2, 3, 4$ を代入して

　　$S=\frac{1}{2}\{$

　　　　$(x_2-x_1)(y_3-y_1)$

　　　　$+(x_3-x_1)(y_4-y_2)$

　　　　$+(x_4-x_1)(y_1-y_3)\}$

となるが，特に$y$の番号は一つ飛ばしの引き算なのがなぞ。

これが台形公式の

と形が違う。この台形の公式で式を作ると，

　　$S=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}(y_i+y_{i+1})(x_i-x_{i+1})$　（ただし$n+1$を1に読み替える）

となり，（上底＋下底）の$y$の番号は隣同士の足し算のはず。

点が4つなら，

 $\frac{1}{2}(y_1+y_2)(x_1-x_2)$

 $\frac{1}{2}(y_2+y_3)(x_2-x_3)$

 $\frac{1}{2}(y_3+y_4)(x_3-x_4)$

下側の台形は$x_3-x_4$がマイナスになるので，ふつうに足せば引き算となる。

 $\frac{1}{2}(y_4+y_1)(x_4-x_1)$

つまり

　　$S=\frac{1}{2}\{$

　　　　$(y_1+y_2)(x_1-x_2)$

　　　　$+(y_2+y_3)(x_2-x_3)$

　　　　$+(y_3+y_4)(x_3-x_4)$

　　　　$+(y_4+y_1)(x_4-x_1)$

と，$y$は隣同士の番号の和になる。

展開すると

　　　$=\frac{1}{2}\{$

　　　　$x_1y_1+x_1y_2-x_2y_1-x_2y_2$

　　　　$+x_2y_2+x_2y_3-x_3y_2-x_3y_3$

　　　　$+x_3y_3+x_3y_4-x_4y_3-x_4y_4$

　　　　$+x_4y_4+x_4y_1-x_1y_4-x_1y_1\}$

プラスマイナスを消すと

　　　$=\frac{1}{2}\{$

　　　　$x_1y_2-x_2y_1$

　　　　$+x_2y_3-x_3y_2$

　　　　$+x_3y_4-x_4y_3$

　　　　$+x_4y_1-x_1y_4\}$

「日本の国土の面積はどうやって計算する？」の式

　　　$=\frac{1}{2}\{$

　　　　$(x_2-x_1)(y_3-y_1)$

　　　　$+(x_3-x_1)(y_4-y_2)$

　　　　$+(x_4-x_1)(y_1-y_3)\}$

を展開すると，

　　　$=\frac{1}{2}\{$

　　　　$x_2y_3-x_2y_1-x_1y_3+x_1y_1$　← $-x_1y_3+x_1y_1$

　　　　$+x_3y_4-x_3y_2-x_1y_4+x_1y_2$

　　　　$+x_4y_1-x_4y_3-x_1y_1+x_1y_3\}$　←  $-x_1y_1+x_1y_3$

矢印の同類項を消して，

　　　$=\frac{1}{2}\{$

　　　　$x_2y_3-x_2y_1$

　　　　$+x_3y_4-x_3y_2-x_1y_4+x_1y_2$

　　　　$+x_4y_1-x_4y_3\}$

順序を入れ替えて，

　　　$=\frac{1}{2}\{$

　　　　$x_1y_2-x_2y_1$

　　　　$+x_2y_3-x_3y_2$

　　　　$+x_3y_4-x_4y_3$

　　　　$+x_4y_1-x_1y_4\}$

台形から作ったものと同じになった。

さて，この式の中の

　　$x_1y_2-x_2y_1$

はベクトル $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$ で作られる平行四辺形の面積に符号がついたものだから，$\frac{1}{2}(x_1y_2-x_2y_1)$ はベクトル $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$ を2辺とする三角形の面積に符号がついたものとなる。（なす角の回転方向で符号が決まる。時計回りがマイナス）

なので，整理した式

　　$S=\frac{1}{2}\{$

　　　　$x_1y_2-x_2y_1$

　　　　$+x_2y_3-x_3y_2$

　　　　$+x_3y_4-x_4y_3$

　　　　$+x_4y_1-x_1y_4\}$

は三角形の面積の総和（重なった部分は負の数となり，引き算）ともいえる。

「座標法」で検索すると

　　$S=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}x_i(y_{i+1}-y_{i-1})$

が出てくる。ただし$i=0$のときは$i=n$，$i=n+1$のときは$i=1$ と読み替える。

点が4つなら，

　　$S=\frac{1}{2}\{$

　　　　$x_1(y_2-y_4)$

　　　　$+x_2(y_3-y_1)$

　　　　$+x_3(y_4-y_2)$

　　　　$+x_4(y_1-y_3)\}$

これも展開すると

　　　$=\frac{1}{2}\{$

　　　　$x_1y_2-x_1y_4$

　　　　$+x_2y_3-x_2x_1$

　　　　$+x_3y_4-x_3x_2$

　　　　$+x_4y_1-x_4x_3\}$

順序を入れ替えて

　　　$=\frac{1}{2}\{$

　　　　$x_1y_2-x_2x_1$

　　　　$+x_2y_3-x_3x_2$

　　　　$+x_3y_4-x_4x_3$

　　　　$+x_4y_1-x_1y_4\}$

三角形の面積の総和と同じになる。

図の格子は1×1 とすると，

「座標法」の例を見ると，次のような数表を作って計算するようだ。

$i$	$x_i$	$y_i$	$y_{i+1}-y_{i-1}$	$x_i(y_{i+1}-y_{i-1})$
1	5	2	5-1=4	5×4=20
2	4	5	3-2=1	4×1=4
3	1	3	1-5=-4	1×(-4)=-4
4	2	1	2-3=-1	2×(-1)=-2
			倍面積	18

合計は倍面積の 18 なので，図の面積は9

座標法以前の，登記に使われる地積図は，三角形に分割して

(底辺)×(高さ)÷2

だった。

なので，直角を出して高さを測る必要があった。

4.123×2.668÷2=5.500 ($\sqrt{17}\times\frac{11}{\sqrt{17}}\div2$)

4.123×1.698÷2=3.500 ($\sqrt{17}\times\frac{7}{\sqrt{17}}\div2$)

面積9