規則性あるの？

高校の「数列」で習う公式たち．

自然数の和の公式
$1+2+3+\cdots+n=\frac{1}{2}n(n+1)$

自然数の2乗の和の公式
$1^2+2^2+3^2+\,\cdots\,+n^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

自然数の3乗の和の公式
$1^3+2^3+3^3+\,\cdots\,+n^3=\frac{1}{4}n^2(n+1)^2$

3乗の和は，自然数の和の2乗になっている．
$1^3+2^3+3^3+\,\cdots\,+n^3=\frac{1}{4}n^2(n+1)^2=\left(\frac{1}{2}n(n+1)\right)^2$


数学B の教科書には，これくらいまで出ている．

＞なにか規則性は無いの？

もちろんあるが，自然数の和と，3乗の和のような単純な規則性はない．
自然数の累乗の和はベルヌーイ数から，関-ベルヌーイの公式で作られる．
以下，備忘録

ます，数学Iで習う，n個のもの中から r個とる組合せの総数
${}_n{\mathrm C}_r=\frac{n!}{r!(n-r)!}$
${}_0{\mathrm C}_0=\frac{0!}{0!(0-0)!}=1$
${}_1{\mathrm C}_0=\frac{1!}{1!(1-1)!}=1$

${}_1{\mathrm C}_0=\frac{2!}{1!(2-1)!}=2$，${}_1{\mathrm C}_0=\frac{2!}{2!(2-2)!}=1$

${}_3{\mathrm C}_0=1$，${}_3{\mathrm C}_1=3$，${}_3{\mathrm C}_2=3$，${}_3{\mathrm C}_3=1$

${}_4{\mathrm C}_0=1$，${}_4{\mathrm C}_1=4$，${}_4{\mathrm C}_2=6$，${}_4{\mathrm C}_3=4$，${}_4{\mathrm C}_4=1$

${}_5{\mathrm C}_0=1$，${}_5{\mathrm C}_1=5$，${}_5{\mathrm C}_2=10$，${}_5{\mathrm C}_3=10$，${}_5{\mathrm C}_4=5$，${}_5{\mathrm C}_5=1$
並べると，

　 　　　
              1
            1   1
          1   2   1
        1   3   3   1
      1   4   6   4    1
    1   5   10  10   5   1
  1   6   15  20  15   6   1
1   7   21  35  35  21   7   1

となり，これの規則性はカンタンに気づく．（パスカルの三角形）高校1年生に，(a+b)^n の展開式を並べて，「係数の規則はどうなってると思う？」と聞くと，わかる子はわかる．

ベルヌーイ数は並べてわかるようなものではない．
ベルヌーイ数$B_n$は次の式で定義される．
つまり，nより小さいベルヌーイ数で次のベルヌーイ数が決まるという，いわゆる「漸化式」で計算されるので，順次求めるしかない．
${}_{n+1}{\mathrm C}_0B_0 + {}_{n+1}{\mathrm C}_1B_1 + {}_{n+1}{\mathrm C}_2B_2 + {}_{n+1}{\mathrm C}_3B_3 +\, \cdots\,+{}_{n+1}{\mathrm C}_nB_n = n+1$
長い和の式を省略するためには　Σ　を使う．
$\sum_{r=0}^n{}_{n+1}{\mathrm C}_rB_r=n+1$


n=0 のとき，
${}_{1}{\mathrm C}_0B_0= 0+1$
$1B_0= 1$
$B_0= 1$

n=1 のとき，
${}_{2}{\mathrm C}_0B_0 + {}_{2}{\mathrm C}_1B_1= 1+1$
$1\cdot1 + 2B_1= 2$
$B_1=\frac{1}{2}$

n=2 のとき，
${}_{3}{\mathrm C}_0B_0 + {}_{3}{\mathrm C}_1B_1 + {}_{3}{\mathrm C}_2B_2= 2+1$
$1\cdot1 + 3\cdot\frac{1}{2} + 3B_2= 3$
$B_2=\frac{1}{6}$

n=3 のとき，
${}_{4}{\mathrm C}_0B_0 + {}_{4}{\mathrm C}_1B_1 + {}_{4}{\mathrm C}_2B_2+ {}_{4}{\mathrm C}_3B_3= 3+1$
$1\cdot1 + 4\cdot\frac{1}{2} + 6\cdot\frac{1}{6} + 4B_3= 4$
$B_3=0$

n=4 のとき，
${}_{5}{\mathrm C}_0B_0 + {}_{5}{\mathrm C}_1B_1 + {}_{5}{\mathrm C}_2B_2+ {}_{5}{\mathrm C}_3B_3+ {}_{5}{\mathrm C}_4B_4= 4+1$
$1\cdot1 + 5\cdot\frac{1}{2} + 10\cdot\frac{1}{6} + 10\cdot0 + 5B_4= 5$
$B_4=\frac{-1}{30}$

以下，$B_5=0$
，$B_6=\frac{1}{42}$，$B_7=0$，$B_8=\frac{-1}{30}$，$B_9=0$，$B_{10}=\frac{-5}{66}$，$B_{11}=0$，$B_{12}=\frac{-691}{2730}$，・・・
3以上の奇数番号が0 になるくらいの規則しかなさそう．


こうして求めたパスカルの三角形の数と，ベルヌーイ数を使うと関-ベルヌーイの公式で自然数の累乗の和の公式が作られる．
$\sum_{i=0}^{n}i^k=\sum_{j=0}^{k}{}_k{\mathrm C}_jB_j\frac{n^{k+1-j}}{k+1-j}$
Σを使わず長く書けば，
$1^k+2^k+3^k+\,\cdots\,+n^k\\={}_k{\mathrm C}_0B_0\frac{n^{k+1-0}}{k+1-0}+{}_k{\mathrm C}_1B_1\frac{n^{k+1-1}}{k+1-1}+{}_k{\mathrm C}_2B_2\frac{n^{k+1-2}}{k+1-2}+\,\cdots\,+{}_k{\mathrm C}_kB_k\frac{n^{k+1-k}}{k+1-k}$
つまり自然数のk乗の和は，
組合せの数×ベルヌーイ数×分数×nの累乗　の和
の形をしている．

k=0 のとき，
$1^0+2^0+3^0+\,\cdots\,+n^0=1+1+1+\,\cdots\,+1\\={}_0{\mathrm C}_0B_0\frac{n^0+1-0}{0+1-0}=1\cdot1n=n$

k=1 のとき，
$1^1+2^1+3^1+\,\cdots\,+n^1=1+2+3+\,\cdots\,+n\\={}_1{\mathrm C}_0B_0\frac{n^{1+1-0}}{1+1-0}+{}_1{\mathrm C}_1B_1\frac{n^{1+1-1}}{1+1-1}=1\cdot1\cdot\frac{n^2}{2}+1\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{n}{1}=\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n\\=\frac{1}{2}n(n+1)$

k=2 のとき，
$1^2+2^2+3^2+\,\cdots\,+n^2\\={}_2{\mathrm C}_0B_0\frac{n^{2+1-0}}{2+1-0}+{}_2{\mathrm C}_1B_1\frac{n^{2+1-1}}{2+1-1}+{}_2{\mathrm C}_2B_2\frac{n^{2+1-2}}{2+1-2}\\
=1\cdot1\cdot\frac{n^3}{3}+2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{n^2}{2}+1\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{n}{1}=\frac{1}{3}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{6}n\\
=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

k=3 のとき，
$1^3+2^3+3^3+\,\cdots\,+n^3\\={}_3{\mathrm C}_0B_0\frac{n^{3+1-0}}{3+1-0}+{}_3{\mathrm C}_1B_1\frac{n^{3+1-1}}{3+1-1}+{}_3{\mathrm C}_2B_2\frac{n^{3+1-2}}{3+1-2}+{}_3{\mathrm C}_3B_3\frac{n^{3+1-3}}{3+1-3}\\
=1\cdot1\cdot\frac{n^4}{4}+3\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{n^3}{3}+3\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{n^2}{2}+1\cdot0\cdot\frac{n}{1}=\frac{1}{4}n^4+\frac{1}{2}n^3+\frac{1}{4}n^2+0n\\
=\left(\frac{1}{2}n(n+1)\right)^2$


k=4 のとき，
$1^4+2^4+3^4+\,\cdots\,+n^4\\={}_4{\mathrm C}_0B_0\frac{n^{4+1-0}}{4+1-0}+{}_4{\mathrm C}_1B_1\frac{n^{4+1-1}}{4+1-1}+{}_4{\mathrm C}_2B_2\frac{n^{4+1-2}}{4+1-2}+{}_4{\mathrm C}_3B_3\frac{n^{4+1-3}}{4+1-3}+{}_4{\mathrm C}_4B_4\frac{n^{4+1-4}}{4+1-4}\\
=1\cdot1\cdot\frac{n^5}{5}+4\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{n^4}{4}+6\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{n^3}{3}+4\cdot0\cdot\frac{n^2}{2}+1\cdot\frac{-1}{30}\cdot\frac{n}{1}=\frac{1}{5}n^5+\frac{1}{2}n^4+\frac{1}{3}n^3+0n^2-\frac{1}{30}n\\
=\frac{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)$
B5=0 だから，5乗の和の式も n^2 でくくれるし，B4=-1/30 まで覚えておけば，5乗の和まで作り出せることになる．
同様に，6乗の和を作るB6=1/42まで覚えれば，B7=0 より 7乗の和まで．
さらに，B8 が B4=-1/30 と同じで，B9=0 だから，B4=B8，B6 を知っていれば，9乗の和までさくっと・・・

5乗の和は，組合せの数が 1, 5, 10, 10, 5, 1，とベルヌーイ数 1, 1/2, 1/6, 0, -1/30, 0 より，
$1\cdot1\cdot\frac{n^6}{6}+5\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{n^5}{5}+10\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{n^4}{4}+10\cdot0\cdot\frac{n^3}{3}+5\cdot\frac{-1}{30}\cdot\frac{n^2}{2}+1\cdot0\cdot n
=\frac{1}{6}n^6+\frac{1}{2}n^5+\frac{5}{12}n^4+\frac{-1}{12}n^2\\
=\frac{1}{12}n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)
$

6乗の和は，組合せの数が 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 とベルヌーイ数 1, 1/2, 1/6, 0, -1/30, 0, 1/42 より，
$1\cdot1\cdot\frac{n^7}{7}+6\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{n^6}{6}+15\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{n^5}{5}+20\cdot0\cdot\frac{n^4}{4}+15\cdot\frac{-1}{30}\cdot\frac{n^3}{3}+6\cdot0\cdot\frac{n^2}{2}+1\cdot\frac{1}{42}\cdot n \\
=\frac{1}{7}n^7+\frac{1}{2}n^6+\frac{1}{2}n^5+\frac{-1}{6}n^3+\frac{1}{42}n\\
=\frac{1}{42}n(n+1)(2n+1)(3n^4+6n^3-3n+1)
$

7乗の和は，組合せの数が 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1 とベルヌーイ数 1, 1/2, 1/6, 0, -1/30, 0, 1/42, 0 より，
$1\cdot1\cdot\frac{n^8}{8}+7\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{n^7}{7}+21\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{n^6}{6}+35\cdot0\cdot\frac{n^5}{5}+35\cdot\frac{-1}{30}\cdot\frac{n^4}{4}+21\cdot0\cdot\frac{n^3}{3}+7\cdot\frac{1}{42}\cdot\frac{n^2}{2}+1\cdot0\cdot n\\
=\frac{1}{8}n^8+\frac{1}{2}n^7+\frac{7}{12}n^6+\frac{-7}{24}n^4+\frac{1}{12}n^2\\
=\frac{1}{24}n^2(n+1)^2(3 n^4+6 n^3-n^2-4 n+2)
$

8乗の和は，組合せの数が 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1 とベルヌーイ数 1, 1/2, 1/6, 0, -1/30, 0, 1/42, 0, -1/30 より，
$1\cdot1\cdot\frac{n^9}{9}+8\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{n^8}{8}+28\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{n^7}{7}+56\cdot0\cdot\frac{n^6}{6}+70\cdot\frac{-1}{30}\cdot\frac{n^5}{5}\\+56\cdot0\cdot\frac{n^4}{4}+28\cdot\frac{1}{42}\cdot\frac{n^3}{3}+8\cdot0\frac{n^2}{2}+1\cdot\frac{-1}{30}\cdot n \\
=\frac{1}{9}n^9+\frac{1}{2}n^8+\frac{2}{3}n^7-\frac{7}{15}n^5+\frac{2}{9}n^3-\frac{1}{30}n\\
=\frac{1}{90} n (n+1) (2 n+1) (5 n^6+15 n^5+5 n^4-15 n^3-n^2+9n-3)
$

9乗の和は，組合せの数が 1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1とベルヌーイ数 1, 1/2, 1/6, 0, -1/30, 0, 1/42, 0, -1/30, 0 より，
$1\cdot1\cdot\frac{n^{10}}{10}+9\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{n^9}{9}+36\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{n^8}{8}+84\cdot0\cdot\frac{n^7}{7}+126\cdot\frac{-1}{30}\cdot\frac{n^6}{6}\\+126\cdot0\cdot\frac{n^5}{5}+84\cdot\frac{1}{42}\cdot\frac{n^4}{4}+36\cdot0\frac{n^3}{3}+9\cdot\frac{-1}{30}\cdot\frac{n^2}{2}+1\cdot0\cdot n \\
=\frac{1}{10}n^{10}+\frac{1}{2}n^9+\frac{3}{4}n^8-\frac{7}{10}n^6+\frac{1}{2}n^4-\frac{3}{20}n^2\\
=\frac{1}{20} n^2 (n+1)^2(n^2+n-1)(2 n^4+4 n^3-n^2-3n+3)
$

いままで，「頭ではわかっていた」が，こうして書き出してみると，なんか身についた気がするから不思議である．（まぁ1週間で忘れるが，手順の概略は再現はできそう）

＞追記「関孝和」

視覚的に書き直してみた．＞2020/7/9 追記