「うなり」と三角関数

振動数の近い2つの音を同時に出すと「うなり」という現象が起きる．振幅の山と山が重なれば強めあい，山と谷では弱めあう関係である．

振動数100Hz と 110Hz の音を同時に出すと0.1秒ごとに音が強くなったり弱くなったりする．
つまりうなりの振動数は 110－100＝10Hz ということになるが，これは三角関数の加法定理から計算される「和積公式」で簡単に説明がつく．高校数学のレベルである．

和積公式とは
$\sin A +\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$

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100Hz と 110Hz が合わさると，時刻の関数$t$に対して，
$\sin 100t +\sin 110t=2\sin\frac{100t+110t}{2}\cos\frac{100t-110t}{2}$
$=2\sin 105t \times \cos 5t$
となり，105Hz の音を 5Hzの波で強弱をつけることと同じになる．
これだと，うなりの振動数5 は，元の振動数の差110－100＝10 の半分しかないんじゃないかという気がする．


ここで，「cos 5t 倍」をよく考える．
cos がプラス側の山のときは，sin505t の cos 倍の強さ．
cos が０になる瞬間は，sin505t がどんな値でも強さ0
cos がマイナス側の山のときは，sin505t は -cos 倍の強さ．
で sin 105t が強弱する．
つまり sin105t は，cos5t のプラス側とマイナス側のそれぞれで強くなるわけだ．

式を見ると cos5t 倍だが，強さはその 2倍の振動数10 で「強さの山」が来る．
「マイナス側でも強くなる」というのが味噌である．

ということで，うなりの振動数はちょうど差の 110-100=10 になるといえる．


ちなみに，音階のドの1.5倍の振動数のソを重ねる（完全五度）と
(1+1.5)÷2＝1.25 の振動数は間のミ
うなりである差の 1.5-1＝0.5 は１オクターブ下のド．
となり，ドミソがよく響くのはこういう理由．

ソの完全四度上のドは4/3倍だからうなりは
4/3－1＝1/3 の振動数はドの2オクターブ下のド

ドの長三度上のミは5/4倍だからうなりは
5/4-1=1/4 の振動数はドの2オクターブ下のド
になる．

倍音成分の多い楽器ではなかなか難しいが，倍音成分が少なく波形が正弦波に近い笛（フルートとかリコーダー）のアンサンブルでは，うなりのベース音（ドとソがなっているとき，1オクターブ下のド）が聞こえることが多い．

＞AM変調と三角関数

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