2000年2学期 うふふテスト

数学A 「式と証明」のところのテスト
TeXソースとPDF


1 次の集合のうち，集合M = {1, 2, 3, 6} と包含関係のあるものをあれば，その包含関係を書け．


A = {x| 0 ≤ x < 10}

B = {n|n は3 の正の約数}

C = {n|n は6 の正の約数}

D = {n|n は8 の正の約数}



2 ド・モルガンの法則を書け．（集合でも論理でもいい）



3 補集合を定義せよ．



4 どんな集合の部分集合にもなりうる集合は何か．



5 1 から100 までの整数のうち12 と互いに素な数の個数と和を求めよ．



6 恒等式と方程式の違いはなにか．



7 等式の証明の方法を３種類説明せよ．



8 x : y : z = 1 : 2 : 3, x + y + z = 6 のとき，x, y, z の値を求めよ．



9 基本性質

1. a > b ⇒ a + c > b + c

2. a > b, c > 0 ⇒ ac > bc

だけを使って（つまりこれらの読み替えだけで）「a > b, c < 0 ⇒ ac < bc」

を証明せよ．ただし，その基本性質を使った場所も明示せよ．


10 a > 0, b > 0 に対し，a > b ⇐⇒ a^2 > b^2 を示せ．


11 a > 0 に対し，a +1/a ≥ 2 を示せ．また等号成立は？


12 5√(a^2 + b^2) ≥ 3|a| + |b| を証明せよ．また，等号成立は？


13 p ⇒ q の逆，裏，対偶および背理法の仮定を述べよ．


14 命題ab = 0 ⇒ a = 0 or b = 0 を

(1) 普通に証明せよ．

(2) 対偶を使って証明せよ．

(3) 背理法を使って証明せよ．


15 同値な命題p, q に対しp はq の何条件？

		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	14	14	15
	×(0)	19	8	109	39	94	40	15	11	114	85	50	106	7	108	33	68	9
	△(.1)	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	△(.2)	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	2	0	0	0	0	0	0
	△(.3)	15	0	0	0	1	0	8	0	0	0	0	1	7	0	0	0	0
	△(.4)	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0
	△(.5)	0	17	1	0	17	24	1	1	2	23	1	2	0	4	1	36	0
	△(.6)	0	0	0	0	0	0	2	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	△(.7)	20	0	0	0	0	0	26	0	0	0	0	0	2	0	0	0	0
	△(.8)	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	5	3	73	0	0	0	0
	△(.9)	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	5	2	13	0	0	0	0
	○(1)	64	94	9	80	7	55	67	107	3	11	56	5	16	7	85	15	110
	重み補正	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10
	倍率	1.4286	1.161	12.526	1.4875	7.5316	1.7761	1.3326	1.107	29.75	5.2889	1.8196	11.333	1.3222	13.222	1.3918	3.606061	1.081818
	補正倍率	1.1609	1.0644	2.8788	1.1807	2.327	1.2716	1.1276	1.0434	4.1338	2.0071	1.2845	2.7608	1.1239	2.9446	1.1483	1.710023	1.033443
	配点	3.8439	3.5245	9.5321	3.9095	7.705	4.2105	3.7337	3.4549	13.688	6.6459	4.2533	9.1413	3.7215	9.7501	3.8022	5.662145	3.421885
		最大	最小	倍率比	補正倍率比	補正定数
		29.8	1.1	27.5	4	0.4183
		30.201	補正合計
		100	配点合計
		3.3112	配点
		D	E	J	3クラス
	人数	39	39	41	119
	合計	1433	1288	1358	4079
	平方和	57869	50746	52640	161255
	平均	36.744	33.026	33.122	34.277
	標準偏差	11.564	14.508	13.669	13.422
					7.4333
	0-9	1	0	1	2
	10-19	2	5	6	13
	20-29	8	15	10	33
	30-39	14	9	14	37
	40-49	8	6	6	20
	50-59	6	1	2	9
	60-69	0	2	1	3
	70-79	0	0	1	1
	80-89	0	1	0	1
	90-99	0	0	0	0
	100	0	0	0	0